Гармонические функции - definizione. Che cos'è Гармонические функции
Diclib.com
Dizionario ChatGPT
Inserisci una parola o una frase in qualsiasi lingua 👆
Lingua:

Traduzione e analisi delle parole tramite l'intelligenza artificiale ChatGPT

In questa pagina puoi ottenere un'analisi dettagliata di una parola o frase, prodotta utilizzando la migliore tecnologia di intelligenza artificiale fino ad oggi:

  • come viene usata la parola
  • frequenza di utilizzo
  • è usato più spesso nel discorso orale o scritto
  • opzioni di traduzione delle parole
  • esempi di utilizzo (varie frasi con traduzione)
  • etimologia

Cosa (chi) è Гармонические функции - definizione

Гармонические функции

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ         
в музыке - см. Функции тональные.
Гармонические функции         

функции от n переменных (n ≥ 2), непрерывные в некоторой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа

Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.

Наиболее важны для приложения к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, например, оси z, причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z), соответствующие Г. ф. от трёх переменных превращаются в Г. ф. от двух переменных х и у. Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциями (См. Аналитические функции) f (ξ) от комплексного переменного ξ = х + iy. А именно каждая Г. ф. от х и у есть действительная или мнимая часть некоторой функции f (ξ), и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитической функции суть Г. ф. от x и у. Например, х22 и 2ху, будучи действительной и мнимой частями функции ξ2 = х22 + 2ixy, суть Г. ф. Важнейшими задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в которых требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г. ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на который она натянута). Такова также задача Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (например, определение температуры внутри тела по заданному на поверхности градиенту температуры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).

Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы, имеющие большое теоретическое значение. Например, для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. советских математиков. Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.

Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, "Успехи математических наук", 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961.

А. И. Маркушевич.

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ         
функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному Лапласа уравнению.

Wikipedia

Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция U {\displaystyle U} , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве D {\displaystyle D} (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

Δ U = 0 ,   {\displaystyle \Delta U=0,\ }

где Δ = i = 1 n 2 x i 2 {\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}  — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Che cos'è ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - definizione